Modifications sauvages- Maryam 1

Plutot que de vous parler de l'article de Gabriele Mondello, je vais vous parler d'un autre article autour d'un thème connexe. J'ai découvert ce matin le magnifique papier de Maryam Mirzakhani "Weil-Petersson volumes and intersection theory on the moduli space of curves", papier qui sera publié dans le volume 20 du journal de l'AMS.

Maryam est une jeune mathématicienne extrêmement brillante de 29 ans, en postdoc à Princeton elle est spécialisée en géométrie hyperbolique, géométrie symplectique, théorie ergodique et autres joyeusetés.

Dans cet article elle établit un lien entre le volume de Weil-Petersson de l'espace des modules de surfaces hyperboliques à composantes de bord géodésiques de longueur fixée et les nombres d'intersection des classes tautologiques de l'espace de modules des courbes stables à points marqués. Grâce aux tecniques et aux résultats introduits dans cet article, elle retrouve la fameuse formule de Witten-Kontsevich.

1ère Partie : classes tautologiques

notons M_{g,n} l'espace de module des courbes de genre g à n points marqués, c'est l'ensemble des courbes de genre g à n points marqués à isomorphisme près (on ne considère que les isomorphismes qui fixent les points). L'espace M_{g,n} possède une compactification noté \barM_{g,n}, cette compactification est dûe à Deligne-Mumford et est obtenue en ajoutant des courbes "stables" i.e. des courbes à singularités nodales.
L'espace compactifié est un orbifold complexe de dimension 3g-3+n (cette dimension est complexe). Pour chaque point marqué x_i on peut définir un fibré en droite L_i au-dessus de \barM_{g,n}, la fibre au dessus de chaque point C de \barM_{g,n} consiste en la donnée de la restriction du fibré contangent de C à x_i. En considérant la classe de Chern de ce fibré on obtient une classe que l'on note psi_i=c_1(L_i). Ces classes sont les classes tautologiques.

En intégrant des produits de classes tautologiques sur \barM_{g,n} on obtient des nombres d'intersection. Ces nombres d'intersections peuvent être codés par une série génératrice, cette série peut être vue comme une fonction de partition pour une théorie de gravité quantique. J'en dirai un peu plus dans quelques futurs messages.