Maryam II

Reprenons cet article de Maryam Mirzkahni, je le trouve de plus en plus fascinant. La conjecture de Witten prévoit que l'exponentielle d'une série génératrice pour les nombres d'intersections des classes tautologiques satisfait une série d'équations différentielles de type KDV. De manière équivalente on montre que la série satisfait des contraintes données par des opérateurs différentiels L_m, ces contraintes sont les contraintes de Virasoro.
Comme je l'ai déjà écrit cette série génératrice apparaît comme une fonction de corrélation pour une théorie de champ quantique gravitationnelle 2-dimensionelle (une CFT2D).

Maryam s'intéresse dans un premier temps aux volumes de certains espaces de modules de surfaces, ces espaces paramètres des surfaces hyperboliques à bord géodésiques dont on fixe la longueur. Elle obtient une formule récursive pour le volume de ces espaces dont elle tire que le volume est une fonction polynomiale en les longueurs des composantes de bord.

L'un des points importants dans cette preuve de la conjecture de Witten est l'identification des coefficients polynomiaux du volume avec les classes tautologiques, cette identification se fait grâce à des techniques propre à la géométrie symplectique, elle utilise de manière essentielle les techniques de la réduction symplectique.